1. Apa yang di maksud dengan struktur aljabar ?
Jawab :
Struktur Aljabar adalah
ilmu yang mempelajari suatu himpunan dengan satu atau lebih operasi biner pada
system aljabar tersebut.
2. Sebutkan
macam-macam operasi struktur aljabar!
Jawab:
semigrup, grup, abel, monoid.
3. Apa
saja syarat untuk menentukan semigrup?
Jawab:
harus
memenuhi syarat dengan menentukan suatu operasi tersebut tertutup dan
asosiatif.
4. Buktikan bahwa operasi * termasuk dalam monoid abel dengan a*b = ½ (a+b) untuk himpunan bilangan asli.
Jawab:
· Tertutup
Misal : a = 1 b = 2
a*b = ½ (a+b)
= ½(1+2)
=½ (3)
= 3/2
karna 3/2 bukan termasuk bilangan asli dan tidak tertutup , maka operasi * tidak termasuk dalam monoid abel
5. Apakah
(z,*) termasuk dalam semi grup abel jika a*b=2ab untuk himpungan bilangan bulat
Jawab:
·
Tertutup
Misal : a=1 b=2
a*b
= 2ab
= 2.1.2
= 4
Angka 4
termasuk bilangan bulat maka sifatnya tertutup
·
Asosiatif
Misal
a =2 b = 4 c =6
(a*b)*c = a*(b*c)
(a*b)*c = (2ab)*c => (2ab) kita anggap p
=
p*c
=2pc
=2(2ab)c
=> p di ganti dengan (2ab)
=2(2.2.4)6
=2(16)6
=192
a*(b*c) = a*(2bc)
=a*q
=> (2bc) kita anggap q
=2aq
=2a(2bc)
=> q diganti dengan (2bc)
=2.2(2.4.6)
=4(48)
=192 bersifat asosiatif
·
Komutatif
a*b = b*a
a*b = 2ab
= 2.2.4
= 16
b*a = 2ba
= 2.4.2
= 16
·
Kesimpulan himpunan z merupakan semi grup abel
6. Buktikan bahwa himpunan G termasuk dalam grup abel. Jika, G
= himpunan semua bilangan bulat dengan operasi, a * b = a – b.
Jawab:
G = himpunan semua bilangan bulat dengan operasi, ab = a – b.
Kita bisa mengatakan bahwa operasi yang diberikan adalah pengurangan bilangan
bulat. Hal pertama yang kita lakukan adalah memeriksa satu persatu apa yang
terjadi dalam G dengan operasi yang diberikan apakah sesuai defenisi grup atau
tidak. Jika kita menemukan kejanggalan dalam pemeriksaan, maka pembuktian bahwa
G membentuk grup jangan dilakukan, cukup memberi suatu contoh kontra.
G = Bilangan Bulat
a * b = a – b
Ø Pembuktian Tertutup
Misalkan :
a = 4 ; b = 2 ; c = 6
a * b = a – b
= 4 – 2
= 2
Maka, himpunan G Tertutup
Jadi,
sifat asosiatif tidak berlaku untuk pengurangan.
Misalkan :
( a – b ) – c = ( 4 – 2 ) – 6
= -4
a – ( b – c ) = 4 – (2 –
6)
= 8
Maka, himpunan G bukan
merupakan asosiatif
Setelah diperiksa ternyata G tidak bersifat asosiatif.
Kesimpulan : Himpunan G tidak termasuk Grup Abel
7. Tentukan apakah himpunan G = himpunan bilangan
bulat positif. Dengan operasi a*b =
a x b. Bersifat grup abel !
g = bilangan bulat positif
a * b = a x b
Ø Pembuktian Tertutup
Misalkan :
a = 2 ; b = 1 ; c = 3
a * b = a x b
= 2 x 1
= 2
Maka, himpunan G tertutup.
Ø Pembuktian Identitas
a * e = a
2 x e = 2
e = 1
8. Apakah
himpunan {E,* } termasuk kedalam semigrup jika a * b = a +
b + a.b, untuk himpunan bilangan bulat
Jawab :
a * b =
a + b + a.b
E =
bilangan Asli
→
misal a = 6, b = 3
a * b = a + b + a.b
=
6 + 3 + 6.3
=
9 + 18
=
27 → Tertutup
Asosiatif
(a * b * c
= a * (b * c)
(a + b) + a.b = a + (b + a.b)
Misal a = 1, b = 2, c = 3
(a * b * c =
(a + b + a.b) * c → a + b + a.b = h, c = j
h * j = h + j +
h.j
= a +
b + a.b + c + (a + b + a.b) c
= a + b + a.b + ac + bc + abc
=
a + b + c + a.b + ac + bc + abc
=
1 + 2 + 3 + 2 + 3 + 6 + 6
=
23
a * (b * c) = a * (b + c + b.c) → b + c + b.c = l, a = k
k * l = k + l + k.l
= a + b + c + b.c + a
(b + c + b.c)
= a + b + c +
bc + ab + ac + abc
= 1 + 2 + 3 + 6 + 2 +
3 + 6
= 23
Jadi, operasi a * b = a +
b + a.b termasuk semi grup
9. Apakah
Himpunan Q = {4,3} termasuk Semigrup, jika
a * b
= b.a
Jawab
:
Semigrup → 1. Tertutup
2. Asossiatif
Pembuktian tertutup
a = 4
, b = 3
a * b = 3.4
= 12 → Terutup
Pembuktian Assosiatif
(a * b)
* c = a
* (b * c)
(a*b) *
c = a
* (b*c)
(b.a) *
c = a
* (c.b)
r*c = a*s
c.r = s.a
c(b.a) = (c.b).a
3(3.4) = (3.3)4
36 = 36
Jadi
operasi a * b
= b.a termasuk semi grup
10. Misalkan G = {-1, 1} adalah suatu himpunan. Apakah G
merupakan suatu grup terhadap penjumlahan (G, +).
Jawab:
Daftar Cayley G = {-1, 1} terhadap (G, +) sebagai berikut
+
|
-1
|
1
|
-1
|
-2
|
0
|
1
|
0
|
2
|
Berdasarkan daftar Cayley dari tabel di atas, operasi
penjumlahan himpunan G = {-1, 1} menghasilkan {-2, 0, 2}. Dikarenakan {-2, 0,
2} adalah bukan merupakan anggota dari himpunan G = {-1, 1}, maka G = {-1, 1}
tidak tertutup terhadap operasi penjumlahan.
Jadi, (G, +) bukan
suatu grup.
Download disini Soal dan Pembahasan Struktur Aljabar Matematika Informatika 3
Download disini Soal dan Pembahasan Struktur Aljabar Matematika Informatika 3
