Soal Struktur Aljabar Matematika Informatika 3




1.       Apa yang di maksud dengan struktur aljabar ?
Jawab :
Struktur Aljabar adalah ilmu yang mempelajari suatu himpunan dengan satu atau lebih operasi biner pada system aljabar tersebut.
2.       Sebutkan macam-macam operasi struktur aljabar!
Jawab:
 semigrup, grup, abel, monoid.

3.       Apa saja syarat untuk menentukan semigrup?
Jawab:
harus memenuhi syarat dengan menentukan suatu operasi tersebut tertutup dan asosiatif.


4.  Buktikan bahwa operasi * termasuk dalam monoid abel dengan a*b = ½ (a+b) untuk himpunan bilangan asli.
Jawab:
·                                Tertutup
Misal  : a = 1       b = 2
              a*b = ½ (a+b)
                     = ½(1+2)
                     =½ (3)
                     = 3/2

karna 3/2 bukan termasuk bilangan asli dan tidak tertutup , maka operasi * tidak termasuk dalam monoid abel

5.       Apakah (z,*) termasuk dalam semi grup abel jika a*b=2ab untuk himpungan bilangan bulat
Jawab:
·         Tertutup
Misal :           a=1        b=2
                               a*b = 2ab
                                         = 2.1.2
                                         = 4 
                                        Angka 4 termasuk bilangan bulat maka sifatnya tertutup
·         Asosiatif
Misal a =2 b = 4 c =6
(a*b)*c = a*(b*c)
(a*b)*c = (2ab)*c => (2ab) kita anggap p
        = p*c
        =2pc
        =2(2ab)c => p di ganti dengan (2ab)
        =2(2.2.4)6
        =2(16)6
        =192
a*(b*c) = a*(2bc)
        =a*q => (2bc) kita anggap q
        =2aq
        =2a(2bc) => q diganti dengan (2bc)
        =2.2(2.4.6)
        =4(48)
        =192                     bersifat asosiatif
·         Komutatif
a*b = b*a
a*b = 2ab
        = 2.2.4
        = 16
b*a = 2ba
        = 2.4.2
        = 16
·         Kesimpulan himpunan z merupakan semi grup abel

6.       Buktikan bahwa  himpunan G termasuk dalam grup abel. Jika, G = himpunan semua bilangan bulat dengan operasi, a * b = a – b.
Jawab:
G = himpunan semua bilangan bulat dengan operasi, ab = a – b. Kita bisa mengatakan bahwa operasi yang diberikan adalah pengurangan bilangan bulat. Hal pertama yang kita lakukan adalah memeriksa satu persatu apa yang terjadi dalam G dengan operasi yang diberikan apakah sesuai defenisi grup atau tidak. Jika kita menemukan kejanggalan dalam pemeriksaan, maka pembuktian bahwa G membentuk grup jangan dilakukan, cukup memberi suatu contoh kontra.

G = Bilangan Bulat
a * b = a – b
Ø  Pembuktian Tertutup
Misalkan   :
a = 4          ;           b = 2    ;           c = 6
a * b          = a – b
                  = 4 – 2
                  = 2
Maka, himpunan G Tertutup


Jadi, sifat asosiatif tidak berlaku untuk pengurangan.
Misalkan   :
( a – b ) – c = ( 4 – 2 ) – 6
                  = -4
a – ( b – c ) = 4 – (2 – 6)
                  = 8
Maka, himpunan G bukan merupakan asosiatif

Setelah diperiksa ternyata G tidak bersifat asosiatif.
Kesimpulan           : Himpunan G tidak termasuk Grup Abel

7.      Tentukan apakah himpunan G = himpunan bilangan bulat positif. Dengan operasi a*b = a x b. Bersifat grup abel !
g = bilangan bulat positif
a * b = a x b

Ø  Pembuktian Tertutup
Misalkan   :
a = 2          ;           b = 1    ;           c = 3
a * b          = a x b
      = 2 x 1
      = 2
Maka, himpunan G tertutup.



Ø  Pembuktian Identitas
a * e           = a
2 x e           = 2
      e           = 1


8.     Apakah himpunan {E,* } termasuk kedalam semigrup jika a * b =  a + b + a.b, untuk himpunan bilangan bulat

Jawab :
a * b =  a + b + a.b
E = bilangan Asli
→ misal    a = 6,         b = 3
a * b = a + b + a.b
          =  6 + 3   +    6.3
          =    9      +    18
                         =        27          →       Tertutup
Asosiatif
(a * b * c         = a * (b * c)
(a + b) + a.b     =  a + (b + a.b)
Misal a = 1, b = 2, c = 3
(a * b * c    = (a + b + a.b) * c              →      a + b + a.b = h,          c = j
h * j            = h + j + h.j
= a + b + a.b + c + (a + b + a.b) c
                                 = a + b + a.b + ac + bc + abc
                                 = a + b + c + a.b + ac + bc + abc
                                 = 1 + 2 + 3 + 2 + 3 + 6 + 6
                                 = 23


a * (b * c)         = a * (b + c + b.c)               →      b + c + b.c = l,          a = k
k * l                   = k + l + k.l
                          = a + b + c + b.c + a (b + c + b.c)
                          = a + b + c + bc + ab + ac + abc               
                          = 1 + 2 + 3 + 6 + 2 + 3 + 6
                          = 23
Jadi, operasi a * b =  a + b + a.b termasuk semi grup
9.     Apakah Himpunan Q = {4,3} termasuk Semigrup, jika a * b = b.a
Jawab :
Semigrup → 1. Tertutup
               2. Asossiatif
Pembuktian tertutup
a = 4 , b = 3
a * b = 3.4
          = 12 → Terutup
Pembuktian Assosiatif
(a * b) * c     =             a * (b * c)
(a*b) * c       =             a * (b*c)
(b.a) * c        =             a * (c.b)
r*c                 =             a*s
c.r                  =             s.a         
c(b.a)            =             (c.b).a
3(3.4)            =             (3.3)4
36                  =            36
Jadi operasi a * b = b.a termasuk semi grup

10.  Misalkan G = {-1, 1} adalah suatu himpunan. Apakah G merupakan suatu grup terhadap penjumlahan (G, +).
Jawab:
Daftar Cayley G = {-1, 1} terhadap (G, +) sebagai berikut

+
-1
1
-1
-2
0
1
0
2
Berdasarkan daftar Cayley dari tabel di atas, operasi penjumlahan himpunan G = {-1, 1} menghasilkan {-2, 0, 2}. Dikarenakan {-2, 0, 2} adalah bukan merupakan anggota dari himpunan G = {-1, 1}, maka G = {-1, 1} tidak tertutup terhadap operasi penjumlahan.
Jadi, (G, +) bukan suatu grup.          



Download disini Soal dan Pembahasan Struktur Aljabar Matematika Informatika 3

Share this

Related Posts

Previous
Next Post »